Part 0：前置知识

为了更好地阅读这篇文章，你需要自己百度：

树形结构
二叉树
完全二叉树和满二叉树
数组

Part 1：啥是堆

堆是一个完全二叉树，那首先我们来画一个完全二叉树（每个圆圈的数字是他在数组里边的下表）：

容易看出堆有一个容易看出的特性（前提是你对树结构的根与叶很敏感，不敏感就记下来）：父节点为他的两个子节点的和的二分之一向下取整，也就是：
$$Father = \lfloor \frac{child1 + child2}{2} \rfloor$$

堆也有分类，一般分为大根堆和小根堆。
我希望你看了这俩图后，你能区分大根堆和小根堆（这个时候圆圈里的数字是数据）：

这是大根堆，接下来的是小根堆：

这里笔者给出记忆方法：上大下小大根堆，上小下大小根堆

Part 2：堆的基本操作

堆的基本操作有一下几个：

上浮（上调节点） shift_up
下沉（下调节点） shift_down
插入（插入节点） push
弹出（弹出节点）pop
取顶（得到最顶端的节点） top
堆排序（排序）heap_sort

我们用比较好理解的小根堆来讲一讲前五个操作，第六个堆排序我们单独拿一节来说。

上浮

我希望你记住了小根堆的特性：上小下大。
假设，这个时候我们有这么一个堆：

但显然，这个不是个小根堆，我们想要把他变成小根堆，我们需要：

于是他会变成这个样子：

这个操作我们把他成为：上浮。
上浮的操作本质就是swap，一直当前节点与他的父节点的大小，然后选择是否交换。

//这里的heap数组是存放堆的数组
//请注意：不是所有的堆一开始就是小根堆和大根堆
//在进行几次上浮和下沉后，才能保证他是一个大根堆或者小根堆
void Shift_up(int i){
    while(i/2 >= 1){ //一直比较到最顶端
        if(heap[i] < heap[i/2]){ //int的特性：int/int = floor(double/double)
            swap(heap[i],heap[i/2]);
            i /= 2; //这个时候相当于指向i的一个指针要向上走，走到他的父节点
        }
        else break;
}

下沉

上浮固然是个好方法，但有时候不让你用上浮，你也可以用下沉。
还是拿这个图举例子：

我们可以看到，8要向下下沉，那他该往哪里下沉？3还是9？显然是3。为什么？因为3<9！
那么我们就有这个代码：

void Shift_down(int i ,int n){//n表示当前有n个节点
    while(i*2 <= n){
        int t = i * 2 ;
        if(t+1 <= n && heap[T+1] < heap[T]) T++;
        if(heap[i] < heap[T]){
           swap(heap[ i ],heap[T] );
           i = T;
        }
        else break;
}

插入

我们把一个元素插入到根的末尾，然后让他上浮就好了：

void Push(x){
    n++; //n是表示当前有多少个元素
    heap[n] = x;
    Shift_up(n);
}

弹出

让根节点元素和尾节点进行交换，然后让现在的根元素下沉就可以了。

void Pop(x){
    swap(heap[1],heap[n]);
    n--;
    Shift_down( 1 );
}

取顶

这个你不会请滚回百度百科吧：

1
2
3

int top(){
    return heap[1];
}

堆排序

堆排序真的在排序吗？不是，他的本质是不断的在上浮和下调，每次让最小的一定能跑到最上面，取顶，POP，QED。

void Heap_sort(int arr[]){
    k=0;
    while(size > 0){
        k++;
        arr[k] = top();
        pop();    
    }        
}

复杂度$O(N log N)$，还不错，不过空间的话……

Part 3：优先级队列

优先级队列其实是队列的一个变体，在小学的时候，你也许会做过这么一种题：
有$n$个小朋友排队打饭，他们所需要的时间分别为$n_i$，当前一个小朋友打饭的时候，后面的小朋友就要等。怎么排序才能让等待时间之和最短。

这就是堆（继续更新）

Part 0：前置知识

Part 1：啥是堆

Part 2：堆的基本操作

上浮

下沉

插入

弹出

取顶

堆排序

Part 3：优先级队列

Part 4：TopK问题

Part 5：左偏树

Part 6：更有趣的堆

Part 6.1：斐波拉契堆

Part 6.2：二叉堆

Part 6.3 二项堆

Part 6.4：斜堆