神奇的莫队

Part -1: 参考资料

参考资料1
万分感谢这个大佬，祝他报送清华北大！
本文同步发表于知乎

Part 0: 一些介绍

莫队由莫涛神仙首次提出，是一种区间操作算法。

即便是板子题，难度也很高（差评）

所以，在阅读后文之前，请你先深呼吸，喝杯咖啡，吃点饼干，听听自己喜欢的歌

然后，~~停止呼吸~~，放下杯子，扔开饼干，摘下耳机，接受莫涛大神思想光辉的洗礼

Part 1：莫队算法的引入

先别谈莫队，我们来回顾一下，遇到区间问题一般怎么解决？

很好，暴力线段树

也就是说，我们一直在通过维护两个序列——左序列$[l,mid]$与右序列$[mid + 1,r]$，从而来维护$[l, r]$，当然，这个操作会一直递归下去

然而，当题目这么问：

令数组$Q$大小为$n$且每个元素$Q_i < n$，有$m$个询问，每次询问给定$l,r$，请找出$[l,r]$中至少重复出现$k$此的数字的个数

换句话说：

在$Q_l$到$Q_r$内找出现次数多余$k$的数字的个数

of course，你可以暴力，~~但你会暴零~~

那么我们试着用线段树，首先，你需要维护左边的序列，然后你需要维护右边的序列，然后……

然后你会发现很难做到短时间甚至$O(1)$的时间完成对线段树单一节点的维护，因为你总是要层层递进向上叠加。

淦！这不是欺负人吗

我们先试试暴力吧，用个$count$记录一下出现次数，然后在扫一遍

暴力是万能的，答案当然正确，但是你的时间复杂度哭了——$O(n^2)$

那么我们可以看看是否可以改进一下，用上$t(wo)p(oints)$算法：

假设有两个指针，$l$和$r$，每次询问的时候用移动$l$和$r$的方式来尝试和要求区间重合

是不是有点蒙？我举个栗子

此图中，两个Q是待求的区间

初始化$r = 0,l = 1$

此时，发现$l$和要求的区间左端重合了，而$r$没有，那么我们把$r$往右边移动一位

此时，$r$发现了一个新的值$0$，总数记录一下，继续右移动

$r$又发现了一个新数值$2$，总数记录一下，继续右移动

此处$2$被记录过了，总数值不变

一直到$r$与右端点重合，得到下图：

第一个区间就算处理完了，我们来看下一个

首先，$l$不在左端点，我们把它右移

这一次，$l$所遇到的数值在区间$[l, r]$只能够存在，总数不变

下一次也是如此，一直到

你会发现，这时，区间$[l,r]$将（也就是在下一次移动后）不会有$2$存在了，那么总数就一个$-1$，而正好本题需要统计的就是区间内数值的个数，总数改变：

如此循环往复，得到最终答案，所以我们可以得出这个代码

int arr[maxn], cnt[maxn]   // 每个位置的数值、每个数值的计数器
int l = 1, r = 0, now = 0; // 左指针、右指针、当前统计结果（总数）
void add(int pos) {             // 添加一个数
    if(!cnt[arr[pos]]) ++ now;  // 在区间中新出现，总数要+1
    ++ cnt[arr[pos]];
}
void del(int pos) {             // 删除一个数
    -- cnt[arr[pos]];
    if(!cnt[arr[pos]]) -- now;  // 在区间中不再出现，总数要-1
}
void work() {
    for(int i = 1; i <= q; i ++) {
        int ql, qr;
        scanf("%d%d", &ql, &qr);    
        while(l < ql) del(l++); // 左指针在查询区间左方，左指针向右移直到与查询区间左端点重合
        while(l > ql) add(--l); // 左指针在查询区间左端点右方，左指针左移
        while(r < qr) add(++r); // 右指针在查询区间右端点左方，右指针右移
        while(r > qr) del(r--); // 否则左移
        printf("%d\n", now);    // 输出统计结果
    }
}

嗯，干得漂亮，但是这是莫队吗？不是

如果区间特别多，$l,r$反复横跳，结果皮断了腿，时间复杂度$O(nm)$

那么现在的问题已经变成了：如何尽量减少$l,r$移动的次数？

Part 2：莫队的正确打开方式

首先，看到尽量减少$l,r$移动的次数，我们会想到排个序

排序排什么的顺序呢？是排端点吗？显然不是，哪怕左端点有序，右端点就会杂乱无章；右端点有序，左端点就会杂乱无章……

这里，我们运用一下分块的思想，把序列分为$\sqrt{n}$块，把查询区间按照左端点所在块的序号排个序，如果左端点所在块相同，再按右端点排序。

这个算法需要的时间复杂度为$sort+move_{\texttt{左指针}}$

由于$sort$的时间复杂度为$O(n\log n)$，$move_{\texttt{做指针}}$的时间复杂度为$O(n\sqrt{n})$，那么总的时间复杂度为$O(n\sqrt{n})$

好耶！降了一个根号！鼓掌！

其次，我们需要考虑一下更新的策略

一般来说，我们只要找到指针移动一位以后，统计数据与当前数据的差值，找出规律（可以用数学方法或打表），然后每次移动时用这个规律更新就行

最后给出总代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define maxn 1010000
#define maxb 1010
int aa[maxn], cnt[maxn], belong[maxn];
int n, m, size, bnum, now, ans[maxn];
struct query {
	int l, r, id;
} q[maxn];

int cmp(query a, query b) {
	return (belong[a.l] ^ belong[b.l]) ? belong[a.l] < belong[b.l] : ((belong[a.l] & 1) ? a.r < b.r : a.r > b.r);
}
#define isdigit(x) ((x) >= '0' && (x) <= '9')
int read() {
	int res = 0;
	char c = getchar();
	while(!isdigit(c)) c = getchar();
	while(isdigit(c)) res = (res << 1) + (res << 3) + c - 48, c = getchar();
	return res;
}
void printi(int x) {
	if(x / 10) printi(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	size = sqrt(n);
	bnum = ceil((double)n / size);
	for(int i = 1; i <= bnum; ++i) 
		for(int j = (i - 1) * size + 1; j <= i * size; ++j) {
			belong[j] = i;
		}
	for(int i = 1; i <= n; ++i) aa[i] = read(); 
	m = read();
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		q[i].l = read(), q[i].r = read();
		q[i].id = i;
	}
	sort(q + 1, q + m + 1, cmp);
	int l = 1, r = 0;
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		int ql = q[i].l, qr = q[i].r;
		while(l < ql) now -= !--cnt[aa[l++]];
		while(l > ql) now += !cnt[aa[--l]]++;
		while(r < qr) now += !cnt[aa[++r]]++;
		while(r > qr) now -= !--cnt[aa[r--]];
		ans[q[i].id] = now;
	}
	for(int i = 1; i <= m; ++i) printi(ans[i]),putchar('\n');
	return 0;
}

Part 3：关于莫队的一些卡常数

卡常数作为OIer的家常便饭，相信大家一定不陌生了

卡常数包括：

位运算
O2
快读
……

而莫队的神奇之处在于他的独特优化：奇偶性排序
原代码：

1
2
3

int cmp(query a, query b) {
    return belong[a.l] == belong[b.l] ? a.r < b.r : belong[a.l] < belong[b.l];
}

改为

1
2
3

int cmp(query a, query b) {
	return (belong[a.l] ^ belong[b.l]) ? belong[a.l] < belong[b.l] : ((belong[a.l] & 1) ? a.r < b.r : a.r > b.r);
}

别人说跑的很快我还不信，自己跑了一下才知道……

真的跑的很快啊……

Part 4: 能修改的莫队

我知道，你拿着上面别个大佬写的代码（再次膜拜写这个代码的大佬orz）兴冲冲的去刷题，一路上披荆斩棘，直到你看到了Luogu1903——国家集训队-数颜色，你彻底傻了眼

妈耶，他要是这么一修改我岂不是要重新sort？跑了跑了

由于莫队本身就是离线的，而你需要修改，得想个办法让他在线，具体做法是：“就是再弄一指针，在修改操作上跳来跳去，如果当前修改多了就改回来，改少了就改过去，直到次数恰当为止。”
（再次感谢这个大佬，，好喜欢这个解释）